سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

$$f(2) = 1 \Rightarrow 4b + d = -7$$ $$f'(2) = 0 \Rightarrow b = -3 \ , \ d = 5$$

از اینکه $(2, 1)$ نقطهٔ اکسترمم نسبی است، دو معادله به دست می‌آید.

معادلهٔ ۱: نقطه روی نمودار است.

$$f(2) = 1 \Rightarrow 8 + 4b + d = 1 \Rightarrow 4b + d = -7$$

معادلهٔ ۲: مشتق در نقطهٔ اکسترمم صفر است (تابع چندجمله‌ای و همه‌جا مشتق‌پذیر است):

$$f'(x) = 3x^2 + 2bx \Rightarrow f'(2) = 12 + 4b = 0 \Rightarrow b = -3$$

جای‌گذاری در معادلهٔ ۱:

$$4(-3) + d = -7 \Rightarrow d = 5$$

بررسی: با این مقدارها $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ و $f'(x) = 3x(x - 2)$ است. علامت $f'$ در $x = 2$ از منفی به مثبت عوض می‌شود؛ پس $(2, 1)$ واقعاً اکسترمم نسبی (مینیمم نسبی) است و $f(2) = 8 - 12 + 5 = 1$.