سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۰

الف)

$$a = \frac{5}{4}c \Rightarrow \frac{25}{16}c^2 = 9 + c^2 \Rightarrow c = 4 \Rightarrow FF' = 2c = 8$$

ب)

$$a = 5 \Rightarrow A(1, -1) \ , \ A'(-9, -1)$$

در بیضی، $a$ نصف قطر بزرگ، $b$ نصف قطر کوچک و $c$ نصف فاصلهٔ دو کانون است و رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ برقرار است. خروج از مرکز $e = \frac{c}{a}$ است.

الف) طول قطر کوچک ۶ است، پس $2b = 6$ و $b = 3$. از خروج از مرکز:

$$\frac{c}{a} = \frac{4}{5} \Rightarrow a = \frac{5}{4}c$$

در رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ جای‌گذاری می‌کنیم:

$$\frac{25}{16}c^2 = 9 + c^2 \Rightarrow \frac{25}{16}c^2 - \frac{16}{16}c^2 = 9 \Rightarrow \frac{9}{16}c^2 = 9 \Rightarrow c^2 = 16 \Rightarrow c = 4$$

فاصلهٔ کانونی، فاصلهٔ دو کانون است:

$$FF' = 2c = 8$$

ب) نصف قطر بزرگ:

$$a = \frac{5}{4} \times 4 = 5$$

بیضی افقی است، پس قطر بزرگ روی خط افقی $y = -1$ (که از مرکز می‌گذرد) قرار دارد. دو سر قطر بزرگ به فاصلهٔ $a = 5$ در چپ و راست مرکز $(-4, -1)$ هستند:

$$A(-4 + 5, -1) = (1, -1) \qquad A'(-4 - 5, -1) = (-9, -1)$$