سوال ۲۰ — سؤال ۲۰ امتحان نهایی فیزیک ۳ تجربی — مرداد ۱۴۰۵

الف) سومین حالت برانگیخته یعنی $n = 4$: $E_n = -\dfrac{13.6}{n^2} \Rightarrow E_4 = -\dfrac{13.6}{16} = -0.85\ \mathrm{eV}$

ب) $\dfrac{1}{\lambda} = R\left(\dfrac{1}{n'^2} - \dfrac{1}{n^2}\right) \Rightarrow \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{100}\left(\dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{\infty}\right) \Rightarrow \lambda = 1600\ \mathrm{nm}$

الف) حالت پایهٔ اتم هیدروژن $n = 1$ است. حالت‌های برانگیخته به ترتیب $n = 2$ (اولین)، $n = 3$ (دومین) و $n = 4$ (سومین) هستند؛ پس الکترون در تراز $n = 4$ است. انرژی الکترون در مدل بور:

$$E_n = -\frac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV}$$ $$E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85\ \mathrm{eV}$$

ب) در رشتهٔ براکت، الکترون از ترازهای بالاتر به تراز $n' = 4$ برمی‌گردد. طول موج خط‌ها از رابطهٔ ریدبرگ به دست می‌آید:

$$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$

کوتاه‌ترین طول موج یعنی بیشترین انرژی فوتون؛ این وقتی است که الکترون از دورترین تراز ممکن ($n \to \infty$) به $n' = 4$ برگردد. در این حالت $\frac{1}{n^2} = 0$ است:

$$\frac{1}{\lambda} = 0.01\left(\frac{1}{16} - 0\right) = \frac{1}{100}\times\frac{1}{16} = \frac{1}{1600}\ (\mathrm{nm})^{-1}$$ $$\lambda = 1600\ \mathrm{nm}$$